Bonjour j'ai un petit problème dans un exercice de raisonnement par récurrence , si quelqu'un aurait l'aimabilité de m'aider à le résoudre ?

Réponse :

{U₀ = 1

{Un+1 = - 3Un + 2

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n;

on a, Un = 1/2)(-3)ⁿ + 1/2

Initialisation :  vérifions que pour n = 0   P(0) est vraie

                        n = 0  ,  on a,  U₀ = 1/2)(-3)⁰ + 1/2 = 1/2) + 1/2 = 2/2 = 1

             donc  pour n = 0  P(0) est vraie

hérédité :  on suppose que pour tout entier naturel n,  P(n) est vraie  c'est à dire  Un = 1/2)(-3)ⁿ + 1/2    et on veut montrer que P(n+1) est vraie, c'est à dire

Un+1 = 1/2(-3)ⁿ⁺¹ + 1/2

puisque Un+1 = - 3Un + 2

                       = - 3((1/2)(-3)ⁿ + 1/2) + 2

                       = 1/2) x (- 3) x (- 3)ⁿ - (3/2) + 2

                       = 1/2)(- 3)ⁿ⁺¹ + 1/2

Conclusion :  pour n = 0 ;  P(0) est vraie et P(n) est vraie par hérédité

       donc  par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n    

Explications étape par étape