bonjour ! je suis en terminale et en galère sur un exercice de spe maths. si quelqu'un peut m'aider ce serait gentil! soit la fonction f définie sur (-3;3) par
Question
soit la fonction f définie sur (-3;3) par f(x)=[tex]\frac{2}{3}[/tex] x³-[tex]\frac{3}{2}[/tex]x²-2x+1.
1) calculer f'(x) où f' et la fonction dérivée de f.
2) étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variation de f.
3) quel est le maximum de f ? quel est le minimum de f ?
4) déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0.
Merci d'avance à ceux qui m'aideront !
1 Réponse
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1. Réponse Svant
Réponse:
1)
[tex] f'(x) = \frac{2}{3} \times 3 {x}^{2} - \frac{3}{2} \times 2x - 2 \times 1 + 0 \\ f'(x) = 2{x}^{2} - 3x - 2[/tex]
2)
f'(x) est un polynôme du second degré avec a=2, b=-3 et c=-2
∆=b²-4ac
∆=(-3)²-4×2×(-2)
∆=25
∆ est strictement positif donc le polynome admet 2 racines
x₁ = (-b-√∆)/(2a)
x₁ = (3-√25)/4
x₁ =-1/2
x₂ = (-b+√∆)/(2a)
x₂ = (3+5)/4
x₂ = 2
f'(x) est positive sur [-3; -½]U[2;3] donc f est croissante sur [-3; -½] et sur [2;3].
f'(x) est negative sur [-½;2] donc f est decroissante sur [-½; 2]
x |-3 -½ 2 3
f'(x)| + 0 - 0 +
| 37/24 -½
f | ↗ ↘ ↗
|-24,5 -11/3
3)
D'apres le tableau de variation, f admet un maximum de 37/24 en x = -½ et un minimum de -24,5 en x =-3 sur [-3;3]
4)
y = f'(0)(x-0)+f(0)
f'(0)=-2
f(0) = 1
y = -2x + 1 est l'equation de la tangente à Cf au point d'abscisse 0.