Sujet : Deux tours, hautes de 30 m et de 40 m, sont distantes l’une de l’autre de 50 m. Une mare est située entre les deux tours. Deux oiseaux P1 et P2 s’envole

Réponse :

déterminer la position de la mare M sachant que les oiseaux se posent dessus en même temps

puisque ils partent à la même vitesse et arrivent en même temps, donc on peut simuler la situation par des triangles ABM et MCD rectangles en A et D

on pose AM = x

d'après le th.Pythagore on a; BM² = x² + 30²  et  CM² = (50 - x)² + 40²

BM² = CM²  ⇔ x² + 900 = 2500 - 100 x + x² + 1600

⇔ 100 x = 4100 - 900 = 3200 ⇔ x = 3200/100 = 32 m

la position du point M est à 32 m par rapport à la première tour de 30 m de haut

Explications étape par étape

bjr

j'ai cherché une image pour avoir des lettres

Deux oiseaux P1 et P2 s’envolent en même temps du sommet de chaque tour et volent à la même vitesse en ligne droite. Ils se posent sur la mare

au même instant :

cela veut dire qu'ils parcourent la même distance, donc que la mare est

à égale distance des sommets des deux tours

Sur le dessin P est la mare: AP = BP

• le triangle AHP est rectangle en H, th de Pythagore

AP² = AH² + HP²

• le triangle BPK est rectangle en K

BP² = BK² + KP²

puisque AP = BP on a

AH² + HP² = BK² + KP²  (1)

on sait que AH = 40

                   BK = 30

on pose HP = x

comme HK = 50 on en déduit que KP = 50 - x

on remplace dans (1)

AH² + HP² = BK² + KP²  (1)

40² +   x²   = 30² + (50 - x)²

on obtient une équation qu'il faut résoudre

1600 + x² = 900 + 50² - 2*50*x + x²

1600 + x² = 900 + 2500 - 100x + x²

100x = 2500 + 900 - 1600

10x = 1800

x = 18 (m)

la mare est à 18 m de H et à 32 m (50 - 18) de K