Aidez moi s'il vous plaît je suis perdu... On considère la suite (Un) définie, pour tout n naturel, par: Uo=1 Un+1 =Un/(1+Un) 1. Calculer les cinq premiers term

Réponse :

U0 = 1

Un+1 = Un/(1+Un)

1) calculer les cinq premiers termes de la suite

U1 = U0/(1+U0) = 1/(1+1) = 1/2

U2 = U1/(1+U1) = 1/2/(1 + 1/2) = 1/2/3/2 = 1/3

U3 = U2/(1+U2) = 1/3/(1 + 1/3) = 1/3/4/3 = 1/4

U4 = U3/(1+U3) = 1/4/(1 + 1/4) = 1/4/5/4 = 1/5

U5 = U4/(1 + U4) = 1/5/(1 + 1/5) = 1/5/1/6 = 1/6

2) conjecturer la formule du terme générale Un

     pour tout entier naturel n  Un = 1/(1 + n)

3) comment peut-on vérifier la cohérence de la conjecture ci-dessus à la calculatrice

   il suffit de prendre les valeurs de n de 0 jusqu'à 5 par exemple et vérifier la formule

4) soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; + ∞[ telle que pour tout n naturel  Un = f(n)

 a) donner l'expression de la fonction f

        f(x) = 1/(1 + x)

 b) étudier les variations de la fonction f sur [0 ; + ∞[

      f '(x) = - 1/(1 + x)²   or  (1 + x)² > 0  et  - 1 < 0  donc f '(x) < 0 alors f est strictement décroissant sur [0 ; + ∞[

 c) en déduire le sens de variation de la suite (Un)

   puisque  Un = f(n)   et   puisque f(x) est décroissante sur [0 ; + ∞[  alors (Un) est croissante sur N

5) a) représentation graphique

       tu peux le faire seul

  b) on voit bien que plus que n augmente Un diminue  donc

lim (Un) = 0

n→+∞    

Explications étape par étape