Bonjour pouvez vous m'aider pour cet exercice de maths svp? Je vous remercie d'avance. ​

Réponse :

Explications étape par étape

Pour la démonstration que [tex]\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}[/tex], elle est normalement dans ton cours de seconde. Elle est du programme et a été faite par ton professeur

Réponse :

[tex]\frac{13}{11}[/tex]∈Q car 13 et 11 sont premiers entre eux.

[tex]\frac{13}{11}[/tex]∉N car le reste de la division euclidienne de 13 par 11 n'est pas égal à 0.

(1-[tex]\sqrt{2}[/tex])²∉Q car sinon on aurait (1-[tex]\sqrt{2}[/tex])² = [tex]\frac{p}{q}[/tex] avec p et q deux entiers naturels premiers entre eux ( on écrit (1-[tex]\sqrt{2}[/tex])² sous forme de fraction irreductible).

Et donc : 1 + 2 -2[tex]\sqrt{2}[/tex] = 3-2[tex]\sqrt{2}[/tex]  = [tex]\frac{p}{q}[/tex]

Par suite : [tex]\sqrt{2}[/tex]  = (3 - [tex]\frac{p}{q}[/tex] ) ÷ 2 = [tex](\frac{3}{2} - \frac{p}{2q} )[/tex]

On élève au carrée, on obtient 2 = [tex]\frac{9}{4} + \frac{p^{2} }{4q^{2} } - 2* \frac{3}{2} \frac{p}{2q}[/tex]

On réduit au même dénominateur et on multiplie les deux membres par 4, on obtient : 8 = 9 + [tex]\frac{p^{2} }{q^{2} } - \frac{6p}{q}[/tex]

- 1 = [tex]\frac{p^{2} }{q^{2} } - \frac{6p}{q}[/tex] ⇔ - q² = p² - 6pq ⇔ q² = p(6q - p) ⇔ p/q² ⇔ p/q car pet q sont premiers entre eux.

Contradiction avec le choix de p et q qui sont choisis premiers entre eux.

Explications étape par étape

J'ai utilisé le raisonnement par l'absurde et le théorème de Gauss, la définition de la divisibilité et le fait que p ∧ q = 1