Quelqun pourrai m’aider pour cette exercice s’il vous plais?, je viens de commencer le chapitre sur les suites par récurrence mais je comprend cette exo

Réponse :

U1 = 1

Un+1 = 2Un + 1   pour tout entier naturel n ≥ 1

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 1, Un = 2ⁿ - 1

Initialisation :  vérifions que P(1) est vraie  U1 = 2¹ - 1  donc c'est vérifié

héridité : supposons que pour tout n ≥ 1  P(n) est vraie c'est à dire

Un = 2ⁿ - 1 et montrons que P(n+1) est vraie aussi

Un+1 = 2Un + 1 = 2 x (2ⁿ - 1) + 1 = 2 x 2ⁿ - 2 + 1 = 2ⁿ⁺¹ - 1

donc P(n+1) est vraie pour tout entier naturel n ≥ 1

Conclusion  P(1) est vraie au rang n = 1  et P(n) est héréditaire

 donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n ≥ 1

Explications étape par étape