Bonjour Suite définie par une formule de récurrence du type Un+1 = f(un) Soit la fonction f définie sur R par f(x) =(1/4)x*2 +2 1. Montrer que pour tout réel x,
Mathématiques
lana04
Question
Bonjour
Suite définie par une formule de récurrence du type Un+1 = f(un)
Soit la fonction f définie sur R par f(x) =(1/4)x*2 +2
1. Montrer que pour tout réel x, f(x) >ou= x+1.
2. On considère la suite (un) définie sur N par uo = 3 et la relation Un+1 = f(un).
(b) Prouver que pour tout neN, Un+1 >ou= Un +1
(c) En déduire le sens de variation de la suite u.
(d) Montrer par récurrence que, pour tout neN, un uo+n
(e) En déduire le comportement de la suite u à l'infini.
Pourriez vous m'aidez s'il vous plaît c'est pour un dm et je n'arrive vraiment pas à cet exercice ?
Suite définie par une formule de récurrence du type Un+1 = f(un)
Soit la fonction f définie sur R par f(x) =(1/4)x*2 +2
1. Montrer que pour tout réel x, f(x) >ou= x+1.
2. On considère la suite (un) définie sur N par uo = 3 et la relation Un+1 = f(un).
(b) Prouver que pour tout neN, Un+1 >ou= Un +1
(c) En déduire le sens de variation de la suite u.
(d) Montrer par récurrence que, pour tout neN, un uo+n
(e) En déduire le comportement de la suite u à l'infini.
Pourriez vous m'aidez s'il vous plaît c'est pour un dm et je n'arrive vraiment pas à cet exercice ?
2 Réponse
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1. Réponse mhr99
Réponse :
Explications étape par étape
1. [tex]f(x) - (x + 1) = \frac{1}{4} (x^2\,-\,4\,x+4)=\frac{1}{4} (x\,-\,2)^2\\[/tex]
donc [tex]f(x)\,-\,(x+1)\,\geq\,0[/tex] d'où le résultat
2. b. Tu appliques la question 1. en remplaçant x par u(n) et tu as ta réponse
2. c. D'après la question précédente [tex]u_{n\,+\,1}\,-\,u_n\,\geq\,1[/tex] donc la suite est croissante
2. d. récurrence classique
2. e. [tex]u_n\,\geq\,u_0\,+\,n[/tex] donc d'après le théorème de comparaison comme [tex]u_0\,+\,n[/tex] tend vers + l'infini, [tex]u_n[/tex] tend aussi vers + l'infini
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