Bonsoir, (niveau bac S) Aidez-moi à résoudre ce système sur les congruences s'il vous plaît.. Merci beaucoup

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour,

Je pense à la solution suivante.

En utilisant l 'algorithme d'Euclide nous pouvons trouver des entiers relatifs u et v tels que 10u+13v=1 comme 10 et 13 sont premiers entre eux.

13 = 10 x 1 + 3 donc 3 = 13 - 1x10

10 = 3x3+1 donc 1 = 10 - 3 ( 13 - 10)=10-3x13+3x10=4x10-3x13

Si on multiplie par 3, ça donne

[tex]\boxed{10\times12-13\times 9 = 3}[/tex]

Mais d'autre part, x doit s'ecrire avec k et k' entiers relatifs

[tex]x=2+10k=5+13k'\\ \\<=>\boxed{10k-13k'=3}[/tex]

Et maintenant on fait la différence des deux équations pour obtenir

[tex]10(k-12)=13(k'-9)[/tex]

13 ne divise pas 10, donc 13 divise k-12, k s'écrit 12+13k''

et alors x = 2+10(12+13k'')=2+120+130k''=122+130k''

Et donc

[tex]\Large \boxed{\sf \bf x\equiv 122 \ \ [130] }[/tex]

On savait que la solution allait être modulo 10x13=130

Pour trouver le 122 on est bien obligé de passer par le coefficient dans l'identité de Bezout.