Bonjour pouvez vous m'aidez pour mon exercice si possible ? Le voilà : Soit, pour tout réel x, P:x (x+1)(3x-10)(4-2x) 1) Montrez que P est un polynôme Détermine

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

Soit , pour tout réel x, P(x)=x (x+1)(3x-10)(4-2x)

1) Montrez que P(x) est un polynôme.

Déterminer le degrés de P(x).

2) Déterminer le terme de degré 2

Déterminer le coefficient du monôme de degré 3

Déterminer le terme constant

3) En utilisant la forme la plus adaptée (factoriser/développer)

déterminer l'image de - 1, de 0, de 2 et de - 3

Déterminer le(s) antécédent(s) de 0 par P(x)

Déterminer le signe de P (x) sur R

1)

[tex]P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\[/tex]

Pour déterminer les coefficients , il suffit de développer.

[tex]x(x+1)=x^2+x\\\\x(x+1)(3x-10)\\=(x^2+x)(3x-10)\\=3x^3+3x^2-10x^2-10x\\=3x^3-7x^2-10x\\\\P(x)=(3x^3-7x^2-10x)(4-2x)\\=12x^3-28x^2-40x-6x^4+14x^3+20x^2\\\\=-6x^4+26x^3-8x^2-40x\\[/tex]

d(P(x))=4

2)

-8 est le coefficient du terme de degré 2

26 est le coefficient du terme de degré 3

0 est le terme constant

3)

P(x)=x (x+1)(3x-10)(4-2x)

P(-1)=...*0*...=0

P(0)=0*...=0

P(2)=...*(4-2*2)=0

P(-3)=(-3)*(-3+1)*(3*(-3)-10)*(4-2*(-3))

=-3*(-2)*(-19)*(10)=1140

[tex]0=P(x) \Longleftrightarrow\ x=0\ ou\ x=-1\ ou\ x=\dfrac{10}{3} \ ou\ x=2\\[/tex]

Signe de P(x)

[tex]\begin{array}{c|ccccccccccc}&-\infty&&-1&&0&&2&&\dfrac{10}{3}&&+\infty \\x&-&-&-&-&0&+&+&+&+&+&+\\x+1&-&-&0&+&+&+&+&+&+&+&+\\(4-2x)&+&+&+&+&+&+&0&-&-&-&-\\(3x-10)&-&-&-&-&-&-&-&-&0&+&+\\--&--&--&--&--&--&--&--&--&--&--&--\\P(x)&-&-&0&+&0&-&0&+&0&-&-\\\end{array}\\[/tex]