S’il vous plaît aidez moi. Soit n∈ N pour quelles valeurs de n a-t-on: 2n-3/n+5 ∈ N n²+4n/n+2 ∈ N

bjr

Soit n∈ N pour quelles valeurs de n a-t-on

1)

(2n-3)/(n+5) ∈ N

(2n-3)/(n+5) = (2n + 10 - 10 - 3) / (n + 5)

                   =  (2n + 10 - 13) / (n + 5)

                   =  (2n + 10)/(n + 5)  - 13) / (n + 5)

                    = 2(n + 5)/(n + 5) - 13/(n + 5)

                    = 2  - 13/(n + 5)

on aura un entier si -13/(n + 5) est un entier

le seul diviseur de 13 est 13

d'où n + 5 = 13

n = 8

le quotient vaut 1

2)

(n²+4n)/(n+2) ∈ N

(n²+4n)/(n+2) = (n² + 4n + 4 - 4) / (n + 2)

                      = [(n + 2)² - 4] / (n + 2)

                     = n + 2 - 4/(n + 2)

on aura un entier si n + 2 est un diviseur de 4

deux possibilités

n = 0  et alors le quotient vaut 0

n = 2 et alors le quotient vaut 3

remarque

on peut aussi faire des divisions

    2n  -  3   |_n + 5__

-  (2n + 10)     2

----------------

   0   - 13                        ( 2n - 3) / (n + 5) = 2 - 13/(n + 5)

    n²  +  4n          |_n + 2__

- ( n²  +  2n)            n + 2

-------------------

    0  +  2n

        - ( 2n + 4)

      -----------------

              0   - 4                    (n² + 4n)/(n + 2) = n + 2 - 4/(n + 2)