Bonjour, pouvez vous m'aider s'il vous plaît, c'est un exercice de math': A) Démontrer que pour tout entier n : n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2 = (n+1)(n+2)(2n+3). B) D

Bonjour !

I.

n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)² = (n+1)(n+2)(2n+3) ?

n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)² = n(2n² + n + 2n + 1) + 6(n² + 2n + 1) =

2n³ + 3n² + n + 6n² + 12n + 6 = 2n³ + 9n² + 13n + 6

(n+1)(n+2)(2n+3) = (n² + 2n + n + 2)(2n+3) = (n² + 3n + 2)(2n+3) =

2n³ + 6n² + 4n + 3n² + 9n + 6 = 2n³ + 9n² + 13n + 6

Donc :

n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)² = (n+1)(n+2)(2n+3)

II.

Pour tout n >= 1,

→ 1 + 2² + 3² +...+ n² = (n (n+1)(2n+1))/6

Disons que c'est vrai. Mais est-ce que ce sera vrai pour (n+1) ?

(Principe de la récurrence)

Première façon de voir le problème :

(1² + 2² + 3² +...+ n²)  +(n+1)² = ( (n (n+1)(2n+1))/6 ) +(n+1)²  ?

Deuxième :

(1² + 2² + 3² +...+ n²)  +(n+1)² = (  (n +1)( (n+1) +1)(2(n+1) +1)  )/6 ?

Donc en gros :

Est-ce que :

(n (n+1)(2n+1))/6 + (n+1)² = (  (n +1)( (n+1) +1)(2(n+1) +1)  )/6 ?

D’un côté :

(n (n+1)(2n+1)) / 6 +(n+1)²  =  (n (n+1)(2n+1)) / 6 +(6(n+1)²)/6 = ( n (n+1)(2n+1) + 6(n+1)²  ) / 6

De l’autre :

(  (n +1)( (n+1) +1)(2(n+1) +1)  )/6 =   ((n +1)(n+2)(2n+3) )/6

Donc la question finale :

Est-ce que :

(n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)² ) / 6 =  ((n +1)(n+2)(2n+3) )/6 ?

Et bien, on a prouvé plus haut que :

n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)² = (n+1)(n+2)(2n+3)

Donc :

( n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)² ) / 6 =  ( (n +1)(n+2)(2n+3) ) / 6

C'est les mêmes expressions, mais toutes les deux divisées par 6, donc l'égalité est conservée.

Maintenant, il faut trouver une valeur de n qui valide l'équation de base : ce sera notre "n de départ".

Mettons : n=1.

Est-ce que :

1² = (1* (1+1)(2*1+1))/6 ?

-> 1² = 1

-> (1* (1+1)(2*1+1))/6 = (1 * 2 * 3) / 6 = 6/6 = 1

Donc 1² = (1* (1+1)(2*1+1))/6.

Et donc ça marche pour 1² + (1+1)², ça marche pour 1² + (1+1)² + (1+1+1)² ...

Voilà !