Bonjour, j’ai besoin d’aide pour finir cet exercice svp

bjr

hérédité

soit un entier n ≥ 1

on appelle P(n) la propriété : 1 + 2² + 3² + ....... + n² = n(n+1)(2n+1)/6

on suppose P(n) vraie

on veut montrer que P(n + 1) est vraie

P(n + 1) : 1 + 2² + 3² + ....... + n² + (n+ 1)² =  (n + 1)(n +2)[2(n + 1) + 1]/6

                                                               = (n + 1)(n + 2)(2n + 3)/6

on part de 1 + 2² + 3² + ....... + n² + (n+ 1)²

1 + 2² + 3² + ....... + n² + (n+ 1)² = [1 + 2² + 3² + ....... + n²] + (n + 1)²

                                                =  [ n(n+1)(2n+1)/6 ] + (n + 1)²

                                                =  n(n+1)(2n+1)/6 + 6(n + 1)² /6

                                                = [n(n+1)(2n+1) + 6(n + 1)²] /6

calcul du numérateur

n(n+1)(2n+1) + 6(n + 1)² = (n+ 1)[n(2n + 1) + 6(n + 1)

                                   = (n + 1)(2n² + n + 6n + 6)

                                  = (n + 1)(2n² + 7n + 6)

on veut obtenir (n + 2)(2n + 3)

on développe (n + 2)(2n + 3) et on trouve bien 2n² + 7n + 6

le numérateur est (n+ 1)(n + 2)(2n + 3)

et on a obtenu le résultat cherché

d'où P(n + 1) vraie

il te reste à écrire la conclusion