Bonjour, je poste ici car je galère depuis 2 jours sur ces deux exos 3 et 4 pour un DM de maths à rendre vendredi. Je vous remercie d'avance pour votre aide pas

Réponse:

Bonjour

Ex 3.

Premiere méthode

1) la suite (Un) semble tendre vers 20. (voir photo)

2)a)

[tex]v_{n +1} = u_{n +1} - 20 \\ v_{n +1} = 0.6u_{n } + 8 - 20 \\ v_{n +1} = 0.6(v_{n } + 20) + 8 - 20 \\ v_{n +1} = 0.6v_{n } + 12 - 12 \\ v_{n +1} = 0.6v_{n}[/tex]

la suite (Vn) est geometrique de raison 0,6 et de terme initial Vo = Uo - 20 = 141

2b)

Vn = Vo×qⁿ

Vn = 141×0,6ⁿ, pour tout entier naturel n.

2c)

lim(0,6ⁿ) = 0 car lim(qⁿ) =0 avec 0< q < 1

n→+∞ n→+∞

lim(141×0,6ⁿ)=0 par produit de limites

n→+∞

lim(Vn) = 0

n→+∞

lim(Un-20)=0

n→+∞

lim(Un)=20

n→+∞

Deuxieme methode :

1) Soit P(n) la propriété Un ≥ 20

Initialisation

Uo=161

Uo ≥ 20

P(0) est vraie

Heredité

Supposons la propriété vraie pour un entier naturel p.

Up ≥ 20

0,6Up ≥ 0,6×20

0,6Up + 8 ≥ 12 +8

Up+1 ≥ 20

P(p+1) est vraie.

Conclusion :

la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire donc pour tout entier naturel n, Un ≥ 20.

2)

Un-1 - Un = 0,6Un + 8 - Un

= -0,4Un +8

or Un ≥ 20

-0,4Un ≤ -8

-0,4Un +8 ≤ 0

Un+1 - Un ≤ 0

La suite (Un) est décroissante.

3) la suite (Un) est décroissante et minorée par 20 donc la suite (Un) converge.

non demandé :

non demandé :Soit l sa limite

non demandé :Soit l sa limitel=0,6l+8

non demandé :Soit l sa limitel=0,6l+80,4l =8

non demandé :Soit l sa limitel=0,6l+80,4l =8l=20

non demandé :Soit l sa limitel=0,6l+80,4l =8l=20la limite de la suite est 20.

Exercice 4 :

Initialisation

0² = 0

et

0(0+1)(2×0+1)/6 = 0

P(0) est vraie.

2a)

P(k+1) :

1²+2²+...+k²+(k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6

2b)

1²+2²+...+k² = k(k+1)(2k+1)/6

1²+2²+...+k²+(k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²

1²+2²+...+k²+(k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + 6(k+1)²/6

1²+2²+...+k²+(k+1)² = (k+1)[(k(2k+1)+6(k+1)]/6

1²+2²+...+k²+(k+1)² = (k+1)[2k²+k+6k+6]/6

1²+2²+...+k²+(k+1)² = (k+1)(2k²+7k+6)/6

or (k+2)(2k+3)=2k²+3k+4k+6

= 2k² +7k+6

donc

1²+2²+...+k²+(k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6

P(k+1) est vraie.

3) la propriété est vraie au rang 0 et est hereditaire donc pour tout entier naturel n,

1²+2²+...+n²= n(n+1)(2n+1)/6