salut l'exercice 2 me bloque beaucoup avec le epsilon si quelqu'un peu m'aider merci​

Bonjour,

1)a)

L'idée de cet exo est de montrer que la limite de la suite est 2.

On va chercher à encadrer [tex]|u_n-2|[/tex] et montrer que c'est "petit" dès que n est grand.

Pour clarifier,

[tex]|u_n-2|<0,01<=>u_n \in ]1,99;2,01[[/tex]

Allons-y ! Prenons n un entier non nul

[tex]u_n-2=\dfrac{1}{\sqrt{n}}[/tex]

[tex]\dfrac{1}{\sqrt{n}}<0,01<=>100=\dfrac{1}{0,01}<\sqrt{n}<=>n > 100^2=10000[/tex]

Nous pouvons donc écrire

Quel que soit n un entier non nul, il existe [tex]n_0[/tex] = 10001 tel que pour tout

[tex]n\geq n_0[/tex]

On a

[tex]|u_n-2|=\dfrac{1}{\sqrt{n}}<0,01<=>u_n \in ]1,99;2,01[[/tex]

b) Maintenant, on fait pareil mais on remplace 0,01 par epsilon.

[tex]\dfrac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon <=> \dfrac{1}{\epsilon}<\sqrt{n}<=>n>\dfrac{1}{\epsilon^2}[/tex]

Donc, nous pouvons écrire

Quel que soit epsilon un nombre strictement positif, il existe un entier

[tex]n_2[/tex],

égal à la partie entière de

[tex]\dfrac{1}{\epsilon^2}[/tex]

auquel je rajoute 1 tel que pour tout n

[tex]n\geq n_2=>|u_n-2|<\epsilon <=> u_n \in ]2-\epsilon;2+\epsilon[[/tex]

2)

Nous pouvons formaliser les résultats des questions précédentes par

[tex](\forall \epsilon \in \mathbb{R^{+*}}) (\exists \ N \in \mathbb{N});(\forall n \in \mathbb{N})\\\\(n\geq N)=>(|u_n-2|<\epsilon)[/tex]

On peut prendre epsilon aussi petit que l'on veut on trouvera toujours un rang N tel que à partir de ce rang la difference entre les termes de la suite et 2 sont inférieurs à epsilon. Ce qui veut dire que la limite de la suite est 2.

[tex]\Large \boxed{\sf \bf \lim_{n\rightarrow+\infty} u_n = 2 }[/tex]

Merci