Bonjour, j'ai un problème en Maths Expertes, je n'arrive pas à le résoudre voici le problème : Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n 3^n+3 - 4^4

Réponse :

Initialisation :  vérifions que P(0) est vraie   3³ - 4² est divisible par 11

27 - 16 = 11   donc  11 est divisible par 11   donc P(0) est vraie

hérédité  :   on suppose que pour tout entier naturel n  P(n) est vraie c'est à dire (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) est divisible par 11 et montrons que P(n+1) est vraie aussi

    c'est à dire on veut montrer que  3⁽ⁿ⁺¹⁾⁺³ - 4⁴⁽ⁿ⁺¹⁾⁺² est divisible par 11

  (3⁽ⁿ⁺¹⁾⁺³ - 4⁴⁽ⁿ⁺¹⁾⁺²) - (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) = 3ⁿ⁺⁴ - 3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺⁴⁺² + 4⁴ⁿ⁺²

= 3ⁿ⁺³(3 - 1) - 4⁴ⁿ⁺²(4⁴ - 1) = 2 x 3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²(255)

=2 x 3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²(253 + 2)

= 2 x 3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²(11 x 23 + 2) = 2 x 3ⁿ⁺³ - 11 x 23 x 4⁴ⁿ⁺² - 4⁴ⁿ⁺² x 2

= 2 x (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) - 11 x 23 x 4⁴ⁿ⁺²

= 2 x (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) + (- 11 x 23 x 4⁴ⁿ⁺²)

or 2 x (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) est divisible par 11  par hypothèse

et   - 11 x 23 x 4⁴ⁿ⁺² est divisible par 11

donc par addition 2 x (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) + (- 11 x 23 x 4⁴ⁿ⁺²) est divisible par 11

donc     (3⁽ⁿ⁺¹⁾⁺³ - 4⁴⁽ⁿ⁺¹⁾⁺²) - (3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺²) est divisible par 11

Conclusion :  pour n = 0  P(0) est vraie

     pour tout entier naturel n,  par récurrence  P(n) est vraie

Explications étape par étape