bonjour s'il vous plaît je n'arrive pas à te rappeler mon exercice aidez-moi s'il vous plaît

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1) Limites

a) si x tend vers -1 (avec x>-1) alors x+1 tend vers 0+ et 2ln(x+1) tend vers -oo.

(3x²+4x-1)/(x+1)² tend vers -2/0+ soit -oo

donc g(x) tend vers -oo

b) si x tend vers +oo, 2ln(x+1) tend vers+oo et (3x²+4x-1)/(x+1)² tend vers 3x²/x² soit +3

donc g(x) tend vers+oo.

2)Dérivée

g'(x)=2/(x+1)+[(6x+4)(x+1)²-2(x+1)(3x²+4x-1)]/(x+1)^4

g'(x)=2/(x+1)+[(6x+4)(x+1)-2(3x²+4x-1)]/(x+1)³=2/(x+1)+(2x+6)/(x+1)³

on note que x étant >-1, g'(x) est tjrs >0 ; g(x) est donc croissante sur son Df ]-1; +oo[

Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)

x     -1                          alpha                                   +oo

g'(x)..............................+...................................................

g(x) II  -oo........croi............0 ......... croi..........................+oo

La droite x=-1 est une asymptote verticale

La fonction g(x) est continue et monotone sur son Df , comme elle  varie de -oo à +oo d'après le TVI, g(x)=0 admet une et une seule solution alpha comprise entre 0,1 et 0,2 .(valeur donnée dans l'énoncé)

La déduction est évidente si x<alpha g(x)<0  et si x>alpha g(x)>0