merci de résoudre cet exercice f est la fonction définie sur l’intervalle [-2 ; 0],par : f ( x ) = ( x2 + 2x + 1 )e^3x+4 . a) Montrer que pour tout réel x de [

Réponse :

f(x) = (x² + 2 x + 1)e³ˣ⁺⁴

a) montrer que pour tout x de [- 2 ; 0]

  f '(x) = (3 x² + 8 x + 5)e³ˣ⁺⁴

f(x) = (x² + 2 x + 1)e³ˣ⁺⁴  ⇔ f(x) = u*v  ⇒ f '(x) = u'v + v'u

u = x² + 2 x + 1 ⇒ u' = 2 x + 2

v = e³ˣ⁺⁴ ⇒ v' = 3e³ˣ⁺⁴

f '(x) = (2 x + 2)e³ˣ⁺⁴ + 3(x² + 2 x + 1)e³ˣ⁺⁴

      = (2 x + 2 + 3(x² + 2 x + 1)e³ˣ⁺⁴

      = (2 x + 2 + 3 x² + 6 x + 3)e³ˣ⁺⁴

      = (3 x² + 8 x + 5)e³ˣ⁺⁴

b) étudier le signe de f '(x)

f '(x) = (3 x² + 8 x + 5)e³ˣ⁺⁴  or  e³ˣ⁺⁴ > 0  donc le signe de f '(x) dépend du signe de 3 x² + 8 x + 5

f '(x) = 0  ⇔ 3 x² + 8 x + 5 = 0

Δ = 64 - 60 = 4  donc √4 = 2

x1 = - 8 + 2)/6 = - 6/6 = - 1

x2 = - 8 - 2)/6 = - 10/6 = - 5/3

  x      - 2                - 5/3               - 1                  0

f '(x)                 +          0         -        0         +

donc  f '(x) ≥ 0  sur [- 2 ; - 5/3]U[- 1 ; 0]

         f '(x) ≤ 0  sur [- 5/3 ; - 1]

Explications étape par étape