Un+1=Un²+o,25 Determiner les variations de la suite Un Que dire de la limite de la suite Un en fonction de n

Réponse :

Explications étape par étape :

■ BONJOUR Enzo de Limoges !

■ Un+1 = Un² + 0,25

■ on va tester plusieurs valeurs de Uo

pour observer le comportement de la suite (Un) ,

puisque le texte ne précise rien ! :

■ soit Uo = 1 :

■ U1 = 5/4 = 1,25 ;

   U2 = 29/16 = 1,8125 ;

   U3 = 905/256 ≈ 3,535156 ;

   ...

  la suite (Un) est donc croissante

■ soit Uo = 0,9 :

  U1 = 1,06 ; U2 ≈ 1,37 ; U3 ≈ 2,14 ; U4 ≈ 4,82

  la suite est donc croissante

■ soit Uo = 0,5√3 ≈ 0,866 :

  U1 = 1 ; U2 = 1,25 ; U3 = 29/16 ;

  on retrouve les mêmes termes !

■ soit Uo = 0,6 :

       U1 = 0,61 ; U2 ≈ 0,62 ; U3 ≈ 0,64

       la suite est donc croissante

■ soit Uo = 0,5 :

      U1 = 0,5 ; U2 = 0,5 ; U3 = 0,5

     la suite est donc constante

■ soit Uo = 0,4 :

      U1 = 0,41 ; U2 ≈ 0,42 ; U3 ≈ 0,425

      la suite est donc croissante ( de limite 0,5 )

■ soit Uo = -1 :

      U1 = 1,25 ; on retrouve les mêmes termes !

■ Un+2 = (Un+1)² + 0,25

            = (Un² + 0,25)² + 0,25

            = (Un)^4 + 0,5Un² + 0,0625 + 0,25

  la suite (Un) est croissante si :

                                     Un+2 > Un+1

  (Un)^4 + 0,5 Un² + 0,0625 > Un²

  (Un)^4 - 0,5 Un² + 0,0625 > 0

                      ( Un² - 0,25 )² > 0

  cette inégalité est TOUJOURS vérifiée

( sauf pour Un = 0,5 )

  donc la suite (Un) est bien TOUJOURS croissante

( sauf pour Un = 0,5 )

■ recherche de la Limite L :

                  L = L² + 0,25

                4L = 4L² + 1

  4L² - 4L + 1 = 0

   4 (L - 0,5)² = 0

   donc Limite = 0,5 .

■ conclusion :

  la suite (Un) est toujours croissante

( elle est seulement constante pour Uo = 0,5 )

 pour -0,5 < Uo < +0,5 , la Limite = 0,5 .